Loading... 最近对三维空间的旋转表达方式做了整理。三维空间中常用的表征旋转的方式有：**[旋转矩阵(rotation matrix)](https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix)**、**[欧拉角(euler angles)](https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles)**、**[四元数(quaternion)](https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation)**和**[角轴(axis angle)](https://en.wikipedia.org/wiki/Axis%E2%80%93angle_representation)**。 自己的一些理解： 1. 欧拉角中的 **(x, y, z)**，**(roll, pitch, yaw)**，**(heading, elevation(attitude), bank)**是一回事，名称不同 1. 四元数和角轴近似 1. 角轴（**Axis Angle**）和**exponential twist**、罗德里格斯（**Rodrigues**）旋转向量是一回事，叫法不同，公式上有微小不同 1. 欧拉角、四元数和角轴是更符合人类思维的表达方式，这三种旋转方式都可以转换为旋转矩阵，旋转矩阵更利于计算机计算——将空间旋转（spatial rotation）变为矩阵运算。 后文分享了欧拉角、四元数、角轴与旋转矩阵相互转换公式。数学原理和代码实现将会在后续的blog中Po出。 ## 相互转换 旋转矩阵：$R=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\end{bmatrix}$，欧拉角：$\begin{bmatrix}\theta_x \\ \theta_y \\ \theta_z \end{bmatrix}$，四元数：$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}$，角轴：$r=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}k_x \\ k_y \\ k_z \end{bmatrix},& \theta\end{pmatrix}$ ### 欧拉角$\longleftrightarrow$旋转矩阵 1. 欧拉角$\longrightarrow$旋转矩阵 绕$x$(*roll*)、$y$(*pitch*)、$z$(*yaw*)轴分别旋转$\theta_x$、$\theta_y$、$\theta_z$的各旋转矩阵$R_x$、$R_y$、$R_z$ $$\left\lbrace\begin{aligned}R_x &=& \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x \end{bmatrix} \\ R_y &=& \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y \end{bmatrix} \\ R_z &=& \begin{bmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\end{aligned}\right.$$ 则 $$\left\lbrace\begin{array}{cc}R=R_x \cdot R_y \cdot R_z & or \\ R=R_x \cdot R_z \cdot R_y & or \\ R=R_y \cdot R_x \cdot R_z & or \\ \vdots & \\ R=R_z \cdot R_y \cdot R_x & \end{array}\right.$$ 通常是按照*roll*$\rightarrow$*pitch*$\rightarrow$*yaw*的顺序进行旋转的，即 $$\begin{aligned} & R &=& R_z \cdot R_y \cdot R_x \\ \\ & &=&\begin{bmatrix} \cos\theta_z\cos\theta_y & cos\theta_z\sin\theta_y\sin\theta_x-\sin\theta_z\cos\theta_x & cos\theta_z\sin\theta_y\cos\theta_x+\sin\theta_z\sin\theta_x \\ \sin\theta_z\cos\theta_y & sin\theta_z\sin\theta_y\sin\theta_x-\sin\theta_z\cos\theta_x & sin\theta_z\sin\theta_y\cos\theta_x+\cos\theta_z\sin\theta_x \\ -\sin\theta_y & \cos\theta_y\sin\theta_x & \cos\theta_y\cos\theta_x \end{bmatrix}\end{aligned}$$ 1. 旋转矩阵$\longrightarrow$欧拉角 旋转矩阵：$R=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\end{bmatrix}$，则其欧拉角$x$(*roll*)、$y$(*pitch*)、$z$(*yaw*)的表达式分为三种情况: 1. 当$x_{21}=0$时： $$\left\lbrace\begin{aligned}&\theta_x &=& atan2(x_{13},x_{33}) \\ &\theta_y &=& \pi/2 \\ &\theta_z &=& 0\end{aligned}\right.$$ 2. 当$x_{21}=0$时： $$\left\lbrace\begin{aligned}&\theta_x &=& atan2(x_{13},x_{33}) \\ &\theta_y &=& -\pi/2 \\ &\theta_z &=& 0\end{aligned}\right.$$ 3. 其他： $$\left\lbrace\begin{aligned}&\theta_x &=& atan2(x_{13},x_{33}) \\ &\theta_y &=& asin(x_{21}) \\ &\theta_z &=& atan2(-x_{23},x_{22})\end{aligned}\right.$$ ### 角轴$\longleftrightarrow$旋转矩阵 1. 角轴$\longrightarrow$旋转矩阵 绕转轴$\left\lbrace\begin{aligned}&\vec{k}&=&\begin{bmatrix} k_x \\ k_y \\ k_z \end{bmatrix} \\ &\||\vec{k}\|| &=& 1\end{aligned}\right.$按照右手定则旋转$\theta$ 有 $$K=\begin{bmatrix}0 & -k_z & k_y \\ k_z & 0 & -k_x \\ -k_y & k_x & 0 \end{bmatrix}$$ 则旋转矩阵$R$为 $$\begin{aligned}& R &=& I+(\sin\theta)K+(1-\cos\theta)K^2 \\ & &=& \exp(\theta K) \end{aligned}$$ 注：罗德里格斯旋转向量$\vec{r}=\theta\cdot\vec{k}$ 1. 旋转矩阵$\longrightarrow$角轴 旋转矩阵 $$R=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\end{bmatrix}$$ 则角轴 $$\left \lbrace \begin{aligned} & \theta &=& \cos^{-1}(\frac{x_{11}+x_{22}+x_{33}-1}{2}) \\ & \vec{k} &=& begin{bmatrix}\frac{x_{32}-x_{23}}{m} \\ \frac{x_{13}-x_{31}}{m} \\ \frac{x_{21}-x_{12}}{m} \end{bmatrix} \end{aligned} \right.$$ 其中 $$m=\sqrt{(x_{32}-x_{23})^2+(x_{13}-x_{31})^2+(x_{21}-x_{12})^2}$$ ### 四元数$\longleftrightarrow$旋转矩阵 1. 四元数$\longrightarrow$旋转矩阵 四元数$$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}$$ 则旋转矩阵 $$\begin{aligned} & R &=& I+2\cdot\begin{bmatrix}-y^2-z^2 & x\cdot y & x \cdot z \\ x \cdot y & -x^2-z^2 & y \cdot z \\ x \cdot z & y \cdot z & -x^2-y^2\end{bmatrix}+2\cdot\omega\cdot\begin{bmatrix}0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & &=& \begin{bmatrix}1-2y^2-2z^2 & 2xy-2z\omega & 2xz+2y\omega \\ 2xy+2z\omega & 1-2x^2-2z^2 & 2yz-2x\omega \\ 2xz-2y\omega & 2yz+2x\omega & 1-2x^2-2y^2\end{bmatrix} \end{aligned}$$ 1. 旋转矩阵$\longrightarrow$四元数 旋转矩阵 $$R=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33}\end{bmatrix}$$ 则四元数为（这一公式还存疑） $$\left\lbrace\begin{aligned}&\omega &=& \frac{\sqrt{1+x_{11}+x_{22}+x_{33}}}{2} \\ &x &=& \frac{x_{32}-x_{23}}{4\omega} \\ \\ &y &=& \frac{x_{13}-x_{31}}{4\omega} \\ \\ &z &=& \frac{x_{21}-x_{12}}{4\omega}\end{aligned}\right.$$ ### 角轴$\longleftrightarrow$四元数 1. 角轴$\longrightarrow$四元数 角轴：$r=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}k_x \\ k_y \\ k_z \end{bmatrix},& \theta\end{pmatrix}$，且$k_x^2+k_y^2+k_z^2=1$ 则四元数： $$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}k_x \cdot sin(\theta/2) \\ k_y \cdot sin(\theta/2) \\ k_z \cdot sin(\theta/2) \\ cos(\theta/2)\end{bmatrix}$$ 1. 四元数$\longrightarrow$角轴 有四元数： $$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}$$ 则角轴为$r=\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}k_x \\ k_y \\ k_z \end{bmatrix},& \theta\end{pmatrix}$为三中情况： 1. 当$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$时： $\theta=0$，且转轴可以为任意轴 1. 当$q=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ \omega \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \\ 0 \end{bmatrix}$时： $\theta=\pi$，且转轴为$\begin{bmatrix}k_x \\ k_y \\ k_z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ Last modification：August 16th, 2018 at 10:20 am © 允许规范转载