李代数扰动模型求导，可以分为左扰动求导和右扰动求导。这个文档以左扰动为例。

扰动模型求导（通用公式）

扰动模型求导是一种更简单的数学求导计算方法。扰动模型求导的方法核心是对要求导的变量左乘或是右乘一个微小扰动项，这个微小扰动项会在最后结果上有一个微小的差。根据导数的定义:

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{g}}=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(\delta+g)-f(g)}{\delta} $$

可得：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{f}}{\partial{g}}&=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{f(\exp(\delta)\cdot g)-f(g)}{\delta} \end{align*} $$

扰动模型求导的公式（李群到李群的映射）

有一个从李群到李群的映射$f$

$$ f:G\rightarrow G $$

特殊正交群($SO(3)$)和欧式正交群($SE(3)$)都是李群的一种

注意是从：李群到李群的映射

我们要求如下导数：

$$ \frac{\partial{f(g)}}{\partial{g}} $$

在函数$f$的自变量上左乘一个微小扰动量$\exp(\delta)$，会使得函数值上产生一个微小扰动量$\exp(\epsilon)$：

$$ f(\exp(\delta)\cdot g)=\exp(\epsilon)\cdot f(g)\tag{1} $$

那么根据导数的定义：

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{g}}\equiv \frac{\partial{\epsilon}}{\partial\delta}|_{\delta=0} $$

根据式$(1)$，将$\epsilon$转换为$\delta$的表达式。将式$(1)$左右两边求$\log$：

$$ \epsilon=\log(f(\exp(\delta)\cdot g)\cdot f^{-1}(g)) $$

那么：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{f}}{\partial{g}}&=\frac{\partial{\exp(\epsilon)}}{\partial\exp(\delta)}|_{\delta=0} \\ &=\frac{\partial{\log(f(\exp(\delta)\cdot g)\cdot f^{-1}(g))}}{\partial\delta}|_{\delta=0} \end{align*} $$

左扰动模型求导公式

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{g}}=\frac{\partial{\log(f(\exp(\delta)\cdot g)\cdot f^{-1}(g))}}{\partial\delta}|_{\delta=0} $$

右扰动模型求导公式

$$ \frac{\partial{f}}{\partial{g}}=\frac{\partial{\log(f^{-1}(g)\cdot f(g\cdot \exp(\delta)))}}{\partial\delta}|_{\delta=0} $$

扰动求导的例子

例子1：$\frac{\partial{Rp}}{\partial{R}}=-(Rp)^{\wedge}$

已知$R\in SO(3)$，$p\in R^3$，求$Rp$对$R$的左扰动导数：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{Rp}}{\partial{R}}&=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\exp(\delta)Rp-Rp}{\delta} \\ &\thickapprox\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{(1+\delta^\wedge)Rp-Rp}{\delta} \\ &=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{\delta^\wedge Rp}{\delta} \\ &=\lim_{\delta\rightarrow 0}\frac{-(Rp)^\wedge\delta}{\delta} \\ &=-(Rp)^\wedge \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \exp(\phi)&=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!}(\phi^\wedge)^n \\ &=I+\phi^\wedge+\frac{1}{2}(\phi^\wedge)^2+\cdots \\ &\thickapprox I+\phi^\wedge \end{align*} $$

$$ a,b\in R^3 \\ \begin{align*} a^\wedge b&=-b^\wedge a \\ a^\wedge b=a\times b&=-b\times a=-b^\wedge a \end{align*} $$

例子2：$\frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_1}}=I$

已知$R_1\in SO(3)$，$R_2\in SO(3)$，求$R_1R_2$对$R_1$的左扰动导数：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_1}}&=\frac{\partial{\log(\exp(\delta)R_1R_2(R_1R_2)^{-1})}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(\exp(\delta)R_1R_2R_2^{-1}R_1^{-1})}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(\exp(\delta))}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=I \end{align*} $$

例子3：$\frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_2}}=R_1$

已知$R_1\in SO(3)$，$R_2\in SO(3)$，求$R_1R_2$对$R_2$的左扰动导数：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_2}}&=\frac{\partial{\log(R_1\exp(\delta)R_2(R_1R_2)^{-1})}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(R_1\exp(\delta)R_2R_2^{-1}R_1^{-1})}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(R_1\exp(\delta)R_1^{-1})}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(\exp(R_1\delta))}}{\partial{\delta}}|_{\delta=0}\\ &=R_1 \end{align*} $$

$\omega \in so(3),R \in SO(3)$

$\exp(R\cdot \omega)=R\cdot\exp(\omega)\cdot R^{-1}$

例子4：$\frac{\partial{R^{-1}}}{\partial{R}}=-R^{-1}=-R^\intercal$

已知$R\in SO(3)$，求$R^{-1}$对$R$的左扰动导数：

$$ \begin{align*} \frac{\partial{R^{-1}}}{\partial{R}}&=\frac{\partial{\log((\exp(\delta)R)^{-1}R)}}{\partial\delta}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log((R^{-1}\exp(\delta)R)^{-1})}}{\partial\delta}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(\exp(R^{-1}\delta)^{-1})}}{\partial\delta}|_{\delta=0}\\ &=\frac{\partial{\log(\exp(-R^{-1}\delta))}}{\partial\delta}|_{\delta=0}\\ &=-R^{-1}=-R^{\intercal} \end{align*} $$

$$ \exp(\phi)^{-1}=\exp(-\phi) $$

证明：
已知：

$$ \begin{align*} \exp(\phi)=\exp(\theta\cdot a)=\cos(\theta)\cdot I+(1-\cos(\theta))a\cdot a^\intercal+\sin(\theta)a^\wedge \end{align*} $$

和：

$$ (a^\wedge)^\intercal=-a^\wedge $$

则：

$$ \begin{align*} \exp(\phi)^{-1}=\exp(\theta\cdot a)^\intercal&=\cos(\theta)\cdot I^\intercal+(1-\cos(\theta))(a\cdot a^\intercal)^\intercal+\sin(\theta)(a^\wedge)^\intercal \\ &=\cos(\theta)\cdot I+(1-\cos(\theta))a\cdot a^\intercal-\sin(\theta)a^\wedge \\ \\ \exp(-\phi)=\exp(-\theta\cdot a)&=\cos(-\theta)\cdot I+(1-\cos(-\theta))a\cdot a^\intercal+\sin(-\theta)a^\wedge \\ &=\cos(\theta)\cdot I+(1-\cos(\theta))a\cdot a^\intercal-\sin(\theta)a^\wedge \end{align*} $$

因此：

$$ \exp(\phi)^{-1}=\exp(-\phi) $$

引用

http://ethaneade.com/lie.pdf